anbei die Fragen zur STA02 Prüfung vom 02.06.2012
Detailaufgaben:
Aufgabe 1.1) - 1.4) gaben 12 Punkte
1.1)
durchschnittliche Verzinsung = geometrisches Mittel
Eine Geldanlage wird über 5 Jahre verzinst. Im 1. Jahr mit 9%, 2 Jahre mit 5% und 2 Jahre mit 2%. Berechnen sie die Durchschnittsverzinsung.
Lösung:
= 5√1,09*1,05*1,05*1,02*1,02 – 1= 4,57%
1.2)
Durchschnittsgeschwindigkeit = harmonisches Mittel
Ein Vertreter fährt mit dem Auto zum Kunden. Zuerst 10km Landstraße mit 90km/h, dann 3km Stadt mit 50km/h und anschließend 35km Autobahn mit 120km/h. Wie hoch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?
Lösung:
XH = 1 = 1 = 1 = 103,72 km/h
1/n * 1/xi * hi 1/48*(10/90+3/50+35/120) 0,009641204
1.3)
Punktedurchschnitt Klausuraufgaben = arithmetisches Mittel
In einer Klausur haben Sie bei der 1. Aufgabe 16 Punkte erreicht, bei der 2. Aufgabe 4 Punkte und bei der 3. Aufgabe 8 Punkte und bei der letzten 12 Punkte. Wie viele Punkte haben Sie im Durchschnitt pro Aufgabe erreicht?
Lösung:
1) Aufgabe = 16 Punkte; 2) Aufgabe = 4 Punkte; 3) Aufgabe = 8 Punkte; 4) Aufgabe = 12 Punkte
x = 1/n * 1/xi * Summe xi
x = ¼ * (16+4+8+12) = 40 / 4 = 10
1.4)
Durchschnittlicher Fettgehalt = gewogenes arithmetisches Mittel
Sie haben 2 Kannen mit Milch von unterschiedlichem Fettgehalt. Einmal 15 Liter mit 3,5g Fett pro Liter und einmal 10 Liter mit 1,5g Fett pro Liter. Wie hoch ist der Fettgehalt nach dem Zusammenschütten?
Lösung:
x/quer = ______1____ * (3,5*15 + 1,5*10) = 2,7% Fett/Liter
15+10
Aufgabe 1.5) + 1.6) insgesamt 8 Punkte
1.5) Das Bestimmtheitsmaß erklären
1.6) Die drei Komponenten der Zeitreihe nennen. Erklären welches schwanken kann und mit welcher Methode diese Schwankungen behoben werden können.
Komplexaufgaben:
Aufgabe 2.1 (8 Punkte)
Erstellen Sie ein Streudiagramm und versuchen Sie einen ersten Hinweis auf die Ausprägung der Kovarianz zu finden. Erklären Sie Ihr Vorgehen.
Lösung:
Für die Merkmale X und Y wurde -unabhängig voneinander- der jeweilige Mittelwert berechnet und als gepunktete Linie eingezeichnet. Diese beiden Linien grenzen vier Bereiche voneinander ab, es sind vier Quadranten entstanden. Die Kovarianz ergibt sich aus der Summe der Abweichungen aller Punkte von xquer und yquer. Im Quadranten 1(rechts oben) ist sowohl der X- als der der Y-Wert eines Punktes größer als der entsprechende Mittelwert. Weil beide Faktoren größer 0 sind, ergibt sich ein positiver Beitrag zur Kovarianz. Ein Punkt aus dem 3. Quadranten (links unten) liefert ebenfalls einen positiven Beitrag zur Gesamtsumme. Das ergibt sich daraus, dass beide Merkmalswerte unterhalb der Mittelwerte liegen und damit die beiden Differenzen negativ sind. Da aber das Produkt zweier negativer Werte positiv ist, führt auch ein solcher Punkt zu einer Erhöhung der Kovarianz. Es lässt sich somit folgendes sagen:
Überwiegen die Punkte im 1. und 3. Quadranten, wird die Kovarianz positiv sein (wie im vorliegenden Falle); überwiegen die Punkte im 2. und 4. Quadranten, ergibt sich ein negativer Wert.
Aufgabe 2.2 (8 punkte)
Berechnen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten für die gegebenen Daten. Stellen Sie bitte alle Rechenschritte übersichtlich dar.
Kovarianz: sxy = 2025 – (20 Stück * 16€) = 17,5 St.* €
6
xquer: = 120St. / 6 = 20 St.
Yquer: = 96€ / 6 = 16 €
Varianz: sx 2 = 3102 St.2 / 6 – 20St.2 = 117 St.2
Varianz: sy 2 = 1560,13€2 / 6 – 162 = 4,021667 €2
Standardabweichung: = sx = Wurzel sx 2 = Wurzel aus 117 St.2 = 10,816654 St.
Standardabweichung: = sy = Wurzel sy 2 = Wurzel aus 4,021667 €2 = 2,005409 €
Korrelationskoeffizient: r = sxy = 17,5 St.* € = 0,8068 sx*sy 10,816654 St.* 2,005409 €
Der Wert liegt in der Nähe von +1. Zwischen dem Umsatz und den verteilten Handzetteln besteht also nach den vorliegenden Daten ein hoher linearer positiver Zusammenhang.
Aufgabe 2.3 (8 Punkte)
Bestimmen Sie die Regressionsgerade in der Form = a + b*x. Erklären Sie hierbei den Umsatz durch die verteilten Werbezettel. Zeichnen Sie die Regressionsgerade in das Streudiagramm aus dem ersten Aufgabenteil ein.
a= (3102*96)-(120*2025) = 297792-243000 = 13,008547
(6*3102)-(120)2 18612-14400
b= (6*2025)-(120*96) = 12150-11520 = 0,149573
(6*3102)-(120)2 18612-14400
= 13,008547 + 0,149573*x
Aufgabe 2.4 (4 Punkte)
Interpretieren Sie die beiden Parameter der Regressionsgeraden ökonomisch.
A = fixer Umsatz der Eisdiele ohne Verteilen von Werbezetteln
B = variabler Umsatz, also der Anteil des Umsatzes, der durch Werbezetteln verteilen abhängig ist
Lösung:
b ist der Faktor, der mit der Anzahl der Werbezettel multipliziert werden muss, um das Umsatzplus durch die Werbezettel auszurechnen. Angenommen wir haben b=1 (ist normalerweise bei der Eisdielenaufgabe natürlich kleiner als 1), dann muss die Anzahl der Werbezettel mit 1 multipliziert werden um das Umsatzplus auszurechnen.
Ein Antwort in der Klausur könnte dann lauten "Der Einsatz von x Werbezetteln bringt einen zusätzlichen Umsatz von *,** €
Aufgabe 2.5 (5 Punkte)
Der Eisverkäufer will in einer Woche 2.000 Zettel verteilen. Mit welchem Umsatz kann er entsprechend der Regressionsgeraden rechnen?
2000 Zettel > x = 20
y^ = a + b*x = 13,008 + 0,149573*20= 16
Lösung: Damit kann der Eisverkäufer mit einem Umsatz von 16.000 € rechnen.
Aufgabe 2.6 (7 Punkte)
Wie kann der Eisdielenbesitzer statistisch auswerten, ob es einen Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und den Eissorten gibt? Wie kann er das machen und das Vorgehen beschreiben.
Lösung:
Um nominale Merkmale (wie im vorliegenden Falle das Geschlecht in Bezug auf die Eissorte) untersuchen und quantifizieren zu können ist der Kontingenzkoeffizient anzuwenden. Angenommen wir gehen von folgender Verteilung aus:
Schokolade Erdbeer Summe
weiblich 15 20 35
männlich 21 14 35
Summe 36 34 70
Um herauszufinden, ob ein Zusammenhang zwischen Geschlecht und Eissorte besteht muss die Frage beantwortet werden, welche Verteilung zu erwarten wäre, wenn es keinerlei Zusammenhang zwischen diesen beiden Merkmalen gäbe.
In diesem Fall müsste die Verteilung für alle Eissorten identisch sein. Betrachtet man die Randverteilung der obigen Tabelle als gegeben, müssten sich die zweidimensionalen Häufigkeiten bei völlig fehlendem Zusammenhang zwischen Geschlecht und Eissorte wie folgt verteilen:
Schokolade Erdbeer Summe
weiblich 18 17 35
männlich 18 17 35
Summe 36 34 70
Zur Berechnung eines Zusammenhangmaßes wird zunächst die Hilfsgröße X2 (Chi-Quadrat) gebildet. Diese Hilfsgröße stellt ein Maß für die relativen quadratischen Abweichungen zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten dar:
X2 = (15 – 18)2 + (20-17)2 + (21-18)2 + (14-17)2 = 0,5 + 0,5294 + 0,5 + 0,5294 = 2,058823529
18 17 18 17
Ähnlich wie die Kovarianz bei metrischen Merkmalen wächst (bei sonst gleichen relativen Verteilungen) sie mit zunehmender Anzahl n der Merkmalsträger und ist grundsätzlich unbeschränkt. Deshalb sollte X2 in geeigneter Weise relativ zu n betrachtet werden, durch:
C = X2
n + X2
= 2,058823529 = 0,029411764
70 + 2,058823529
Wünschenswert ist es, ein Maß zu haben, das unabhängig von der Anzahl der Zeilen und Spalten im Falle vollständiger Abhängigkeit den Wert 1 annimmt. Wie schon beim Gini-Koeffizienten gibt es deshalb auch hier ein korrigiertes Maß, den korrigierten Kontingenzkoeffizienten Ckorr.
Aufgabe 3 war Wahrscheinlichkeit, habe ich mir aber garnicht angeschaut
Fazit:
Die Zeit ist schon ziemlich knapp, hätte gut ne viertel Stunde noch gebrauchen können.
Im Seminar sind wir die ersten vier Aufgaben durchgegangen, waren also schon mal 12 geschenkte Punkte
Wünsche allen guten Erfolg und hoffe das ich STA02 bestanden habe, möchte das nicht noch einmal schreiben
LG
Pegl88
